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导读:极坐标与参数方程公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ,tanθ=y/x,x²+y²=ρ²。
极坐标与参数方程公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ,tanθ=y/x,x²+y²=ρ²。
坐标系与参数方程公式
x=ρcosθ,y=ρsinθ
tanθ=y/x,x²+y²=ρ²
有些曲线的方程在直角坐标里面不太好处理,于是我们把它换在极坐标中处理。
例如经过上面式子的变换:
以原点为圆心的圆的方程:ρ=R
双曲线,椭圆,抛物线的极坐标统一形式:ρ=eP/(1-ecosθ),P为焦准距,e为离心率。
常见参数方程
极坐标方程
用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程,通常用来表示ρ为自变量θ的函数。
极坐标方程经常会表现出不同的对称形式,如果ρ(−θ)=ρ(θ),则曲线关于极点(0°/180°)对称,如果ρ(π-θ)=ρ(θ),则曲线关于极点(90°/270°)对称,如果ρ(θ−α)=ρ(θ),则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。
圆
在极坐标系中,圆心在(r,φ)半径为r的圆的方程为
ρ=2rcos(θ-φ)
另:圆心M(ρ',θ')半径r的圆的极坐标方程为:
(ρ')²+ρ²-2ρρ'cos(θ-θ')=r²
根据余弦定理可推得。
直线
经过极点的射线由如下方程表示
θ=φ,
其中φ为射线的倾斜角度,若m为直角坐标系的射线的斜率,则有φ=arctanm。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点(r′,φ)处的直线与射线θ=φ垂直,其方程为r′(θ)=r′sec(θ-φ)。
玫瑰线
极坐标的玫瑰线是数学曲线中非常著名的曲线,看上去像花瓣,它只能用极坐标方程来描述,方程如下:
r(θ)=acoskθ
或r(θ)=asinkθ,
如果k是整数,当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣,当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数,将产生圆盘(disc)状图形,且花瓣数也为非整数。注意:该方程不可能产生4的倍数加2(如2,6,10……)个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。
阿基米德螺线
右图为方程r(θ)=θfor0<θ<6π的一条阿基米德螺线。
阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示:r(θ)=a+bθ,
改变参数a将改变螺线形状,b控制螺线间距离,通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线,一条θ>0,另一条θ<0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90°/270°得到其镜像,就是另一条螺线。
圆锥曲线
圆锥曲线方程如下:r=ep/(1+ecosθ)
其中l表示半径,e表示离心率。如果e<1,曲线为椭圆,如果e=1,曲线为抛物线,如果e>1,则表示双曲线。
或者r=ep/(1-ecosθ)
其中e表示离心率,p表示焦点到准线的距离。
其他曲线
由于坐标系统是基于圆环的,所以许多有关曲线的方程,极坐标要比直角坐标系(笛卡儿坐标系)简单得多。比如双纽线,心脏线。
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